(funzioni orbitali) differenza tra ψ^2 e guscio sferico?
Ciao a tutti!

Non riesco a capire bene la differenza tra le funzioni ψ2 e 4*pi*r22 (guscio sferico)... Sul libro c'è scritto che "psi quadro mostra l'andamanto della densità elettronica con la distanza dal nucleo dell'orbitale 1s", e quindi deduco che il valore massimo è sul nucleo, ok. Poi però, nell'introdurre 4*pi*r22 dice: "per visualizzare meglio come varia la probabilità di trovare l'elettrone entro l'orbitale 1s si puo' riportare in diagramma il suo andamento, in un guscio sferico di spessore piccolo a piacere ma costante, in funzione della dist r dal nucleo", e la probabilità di trovare l'elettrone nel guscio sferico ha il max per r = a0 = 53 pm.

Quello che non mi è chiaro è sostanzialmente la differenza tra le due, perchè a me paiono contraddirsi: l'una (psi quadro) dice che la probabilità maggiore di trovare l'elettrone si trova sul nucleo (o almeno nelle immediate vicinanze), mentre l'altra dice che preso un guscio sferico la maggiore prabilità di trovare l'elettrone è a 53 pm.

E tra l'altro il libro non è per niente chiaro...

Cosa mi sfugge? :-(

Grazie mille!


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Salve,
premetto di essere solo uno studente per cui cercherò di darle una spiegazione basata sulla mia esigua esperienza in materia, certamente saranno presenti sul forum persone più competenti in materia che potranno correggere miei eventuali errori. Chiedo inoltre scusa per la povera impaginazione ma non sono riuscito a inserire le formule nel testo e ho dunque riportato tutte le formule in un allegato.

Innanzitutto come da lei correttamente evidenziato il modulo quadro di una funzione d’onda, calcolato in una generica terna di coordinate cartesiane, rappresenta la densità di probabilità che una particella, cui la funzione d’onda è associata, si trovi in un volume infinitesimo centrato nella suddetta terna di coordinate. Come lei saprà una probabilità è legata ad una densità di probabilità mediante una relazione integrale. Per calcolare la probabilità che una particella occupi un certo volume di spazio è necessario calcolare l’integrale, sullo spazio oggetto di studio, della densità di probabilità. Tale probabilità dunque può essere calcolata con un integrale di questo tipo (in cui ometto per comodità gli estremi di integrazione):
Fig.1 dell'allegato
In un sistema a simmetria sferica come l’atomo idrogenoide è conveniente operare un cambio di coordinate in modo da semplificare i calcoli. Utilizzando un sistema di coordinate sferiche l’integrale precedente può essere riscritto come segue:
Fig.2 dell'allegato
Volendo studiare la probabilità radiale di trovare un elettrone in una sfera di raggio “r” l’integrale precedente può essere scritto come:
Fig.3 dell'allegato
Ora, nel caso particolare dell'orbitale 1s da lei citato, la funzione d’onda non ha dipendenza angolare. Tale fatto equivale a riscrivere l’integrale precedente come segue:
Fig.4 dell'allegato
Risolvendo gli integrali sulle coordinate angolari si ottiene che la probabilità di trovare l’elettrone entro una sfera di raggio “r” è pari a:
Fig.5 dell'allegato
In base a ciò si può affermare che la densità di probabilità radiale di trovare un elettrone su una superficie sferica di raggio “r” e spessore dr è pari a 4πr^2 |ψ(r )|^2

Le due distribuzioni di probabilità non vanno confuse in significato in quanto |ψ(r )|^2 esprime la densità di probabilità per un singolo punto ad una distanza "r" dal nucleo la seconda distribuzione (densità di probabilità radiale) invece esprime una media pesata riferita a tutti i punti che si trovino ad una distanza "r" dal nucleo.

Ciò spiega le sue perplessità riguardo i massimi delle due distribuzioni, nel caso dell'orbitale 1s come da lei osservato la densità di probabilità è massima sul nucleo, tuttavia dato che per questa condizione r=0 si ha che che la densità di probabilità radiale assume valore nullo. Tale fatto non deve sorprendere in quanto un valore elevato di densità di probabilità sul nucleo ha un peso statistico trascurabile rispetto ad una superficie di punti con valori di densità di probabilità non nulla (seppur inferiore a quella per r=0).

Spero di esserle stato d'aiuto

Saluti
Hamiltoniano


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Psi è la funzione d'onda, psi quadro la probabilità di trovare l'elettrone mentre l'ultima è la probabilità di trovare l'elettrone sulla superficie di una sfera.
" Trasformare rifiuti in risorse "
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(2016-01-01, 21:27)Hamiltoniano Ha scritto: Salve,
premetto di essere solo uno studente per cui cercherò di darle una spiegazione basata sulla mia esigua esperienza in materia, certamente saranno presenti sul forum persone più competenti in materia che potranno correggere miei eventuali errori. Chiedo inoltre scusa per la povera impaginazione ma non sono riuscito a inserire le formule nel testo e ho dunque riportato tutte le formule in un allegato.

[...]

Spero di esserle stato d'aiuto

Saluti
Hamiltoniano

Chiarissimo, grazie mille!



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