Esercizio matematico

[Beefcotto87]

Ciao a tutti!
Mi vergogno un po' a dover chiedere una mano su cose che dovrebbero essere abbastanza semplici, ma non ricordo proprio!

Io ho la funzione f(x)= x^3-3x

Come trovo l'inversa? Il problema è che non ricordo come si svolgono le equazioni con x di grado superiore al terzo senza termine noto!
Grazie

[Daedalus]

Le equazioni con x di grado superiore al terzo senza termine noto si svolgono raccogliendo la x quanto possibile e risolvendo poi normalmente l'equazione con l'annullamento del prodotto (in pratica così facendo si "mette da parte" la soluzione x=0 con la sua eventuale molteplicità.

Il caso che tu presenti, però, è del tutto diverso. In primo luogo non è di grado superiore al terzo, quindi possiamo evitarci molti attacchi di panico. Inoltre hai una funzione e non un'equazione, il che complica un pochino le cose, ma rimane gestibile.

Si richiede l'inversa della funzione. Dobbiamo prima accertarci, dunque, che sia invertibile. Molto simpaticamente, x^3 - 3x è di terzo grado, quindi potrebbe anche esserlo su tutto R (fosse stata di grado pari, non avremmo avuto speranze).
Purtroppo si vede anche facilmente che x^3 - 3x = x (x^2 - 3) che ha 3 soluzioni reali. Dunque l'iniettività va a farsi benedire allegramente.
Si può scegliere una restrizione invertibile al dominio, in particolare tra gli intervalli più estesi:
(-inf , -1] v [-1 , +1] v [+1 , +inf)

Per la cronaca, vengono degli schifi assurdi. Sei sicuro di volere proprio l'inversa? xD


PS: Si possono inserire formule in LaTeX in qualche modo? A scrivere così mi sembra di comporre pornografia matematica :/

[Beefcotto87]

Si, perchè l'esercizio mi dice di derivare l'inversa in un punto
Comunque no, non può essere così complesso! Non è il programma di un liceo, niente di così complesso!

[Daedalus]

Aaaah ma allora è tutto diverso! Se nel punto in considerazione la funzione è derivabile e non ha derivata nulla (perciò x<>-1 ET x<>+1, nel nostro caso, altrimenti giù botte all'autore dell'esercizio xD) allora si può applicare un allegro teorema che dice circa così:
"La derivata dell'inversa è il reciproco della derivata."
Questo deriva dritto filato dal significato geometrico di derivata ed inversione: quando tu simmetrizzi rispetto a y=x la tangente assume coefficiente angolare reciproco (poiché inverti dx e dy, detto barbarissimamente; vi prego, dèi dell'Analisi, perdonatemi!)

In tal caso ti basta usare f^(-1)' (x) = 1 / [3(x^2 -1)]

[Beefcotto87]

Ma sei sicuro? Perchè sugli appunti ho trovato che non è semplicemente f^(-1)'(x) = 1/f'(x) ma che f^(-1)'(x) = 1/f'(f^(-1)(x)) cioè la reciproca della composta di derivata di f(x) e dell'inversa! Poi non so, magari quella specifica composta è uguale a f'(x)!

[Daedalus]

Sì, hai ragione, chiedo scusa per la poca chiarezza!
Detto formalmente è come hai scritto tu.

Nella fretta e nel volerla mettere giù semplice, ho usato solo x dove avrei dovuto mettere una y.
Leggi f^(-1)' (y) = 1 / [3(x^2 -1)]

Perchè chiaramente il discorso di dx e dy che si scambiano vale se si lavora con due punti simmetrici anch'essi rispetto a y=x, ergo con un punto della diretta e la sua controimmagine nell'inversa.

Il discorso, come puoi vedere, è molto ben gestibile in un punto, un po' meno nel complesso della funzione.

[Beefcotto87]

Ok, ora ho capito, grazie mille Daedalus!!!
E dire che era così semplice -.-'

[Daedalus]

Calma calma qui con -1 e inverse ci stiamo incasinando completamente.

Dato x0, la derivata dell'inversa di f(x) valutata in y0 controimmagine di x0, è il reciproco della derivata f'(x) valutata in x0.

con f^(-1)(x) io ho sempre inteso l'inversa. É più comodo scrivere così l'inversa e 1/f(x) la reciproca, poichè per la prima non c'è alternativa di scrittura, mentre la seconda evita l'ambiguità.

In che punto, precisamente, ti chiede di valutare la derivata dell'inversa?

[Beefcotto87]

Va bene, ho risolto Grazie! Non c'è bisogno di approfondire, ho capito

[Daedalus]

Ok figurati!