Problema di elettrochimica

[Cipro91]

Buongiorno a tutti,
scrivo sul forum per un dubbio di cui non vengo a capo. Ringrazio in anticipo chiunque avrà voglia di darmi una mano o una dritta.

Il testo del problema:

Determinare la costante di equilibrio della reazione che a 25°C avviene nella pila i cui due semielementi sono Pb2+/Pb e Ga3+/Ga quando le concentrazioni di tutte le specie ioniche sono 0,100 mol/dm^3. Calcolare inoltre le concentrazioni ioniche quando si è stabilito l'equilibrio.
E°(Pb)= -0,126V ; E°(Ga)= -0,530V

I risultati: Kc=8,829*10^40;  [Ga3+]=0,1667 mol/dm^3 ;   [Pb2+]=6,80*10^-15

Il calcolo della Keq mi è risultato semplice, ma non riesco a sviluppare il calcolo delle concentrazioni, ci sto sbattendo la testa così tanto da essermi anche un pò confuso.   Questo è il primo tentativo, dove ho cercato di usare la Keq per ricavare la concentrazione, solo che mi viene una equazione di terzo grado e non so come uscirne.

In un secondo tentativo ho provato a sostituire (0,100 - x)^3 del Pb e (0,100 + x)^2 del Ga all'interno dell'equazione di Nernst. Ho applicato la proprietà dei logaritmi e ho quindi ottenuto una differenza i cui termini erano moltiplicati rispettivamente per 3 e per 2, ma ho ottenuto risultati sbagliati.
Voi che metodo seguireste?

Vi allego lo svolgimento!

[LuiCap]

A mio parere, il testo è un po' ambiguo. Io avrei scritto:

Determinare la costante di equilibrio della reazione che a 25°C avviene nella pila i cui due semielementi sono Pb2+/Pb e Ga3+/Ga . Calcolare inoltre le concentrazioni ioniche quando si è stabilito l'equilibrio quando le concentrazioni di tutte le specie ioniche sono inizialmente 0,100 mol/dm^3.

Sperando di aver interpretato in modo corretto, all'equilibrio avremo:
[Pb2+] = 0,100 - 3x
[Ga3+] = 0,100 + 2x

Perciò l'equazione da risolvere è:

8,83·10^40 = (0,100 + 2x)^2 / (0,100 - 3x)^3

Per risolvere l'equazione di terzo grado io uso un risolutore on-line:
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.htm

[Cipro91]

Grazie per la risposta! Utilissima, ho cercato di risolvere l'equazione, però non sono arrivato al risultato fornito dal problema (Penso di aver fatto errori di calcolo). I risultati sono: [Ga3+]= 6,80*10^-15 mol/L    e    [Pb2+]= 0,167 mol/L

Trovandomi in difficoltà, a tentativi ho trovato un sistema che mi ha condotto al risultato, ma non ne capisco il significato (sempre che lo abbia e sia corretto):
Considero in prima approssimazione che, vista la K elevata:
- [Pb2+] tende a valori infinitesimali e durante la reazione si consuma e diventa piombo metallico Pb
- [Ga3+] tende a valori più elevati (per mantenere costante il rapporto della costante di equilibrio)

quindi ho che la concentrazione di Ga3+ è uguale a (0,100 + 0,100 - 0,100/3)= 0,167 mol/L; 
Ricavata la concentrazione di Gallio in soluzione, imposto la Keq Kc=(0,167^2) / x^3   , e ottengo che [Pb2+]= 6,80*10^-15.


Sono un pò perplesso, però...
 Ga3+ all'equilibrio dovrebbe essere presente per:  0,200mol/L - 0,100/3 mol/L. Solo che, sarà la stanchezza del lavoro e della sessione d'esami , non capisco a fondo a quale fenomeno ascrivere "-0,100/3" nella reazione.