Grafici di equazioni con x^y

Avrei da porvi una domanda che nasce da una mia curiosità personale. Oggi, utilizzando il programma online disponibile a questo link ho provato a tracciare un po' di grafici di equazioni strane (non funzioni!). Sono incappato in risultati davvero strani in casi come x^y=numero, x^y=x, x^y=y e x^y=x*y. Il fatto è che quanto visualizzato nel grafico non mi sembra corrispondere affatto con l'equazione inserita. Ad esempio, per x^y=x, siamo d'accordo che va bene ogni valore di x per y=1, e ogni valore di y per x=1, e infatti appartengono al grafico entrambe le rette parallele agli assi (y=1 e x=1). Tuttavia non sembrano esserci altri casi, eppure il grafico assume forme molto strane e complesse, soprattutto nel 2° e nel 3° quadrante. Ho fatto alcune verifiche, molte delle quali mi han fatto venire parecchi dubbi sulla corrispondenza tra quei grafici e le equazioni inserite, ma non ho ancora trovato una inconfutabile prova contraria. Ho provato ad invertire la x con la y, in una data equazione, verificando che il grafico così ottenuto è effettivamente la funzione inversa (simmetrica rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante), ho provato a plottare contemporaneamente x^y=2 e x^y=3, verificando che NON mi dà lo stesso grafico, e quindi posso concludere che in ogni caso c'è una logica ben precisa dietro a quelle curve. Quale, ancora non lo comprendo. Lascio la parola a chi vorrà e riuscirà a rispondermi. P.S.: cliccando sul link dovreste poter vedere due dei grafici di cui parlo, lasciate stare la circonferenza azzurra che mi aggiunge in automatico, non capisco il perchè. Ci mette un po' a calcolare ed elaborare il grafico.

Ciao Max, se non ricordo male, X^Y con Y < 0 vai a rovistare mei numeri immaginari e dovrebbe essere per quello che ottieni quelle strane forme. Da notare che i numeri immaginari sono alla base di degli insiemi frattali tipo Manbelbrot. https://www.google.it/search?q=insieme+di+mandelbrot&hl=it&client=firefox-a&hs=JEl&rls=org.mozilla:it:official&prmd=imvns&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=w60eUIrnK63c4QTT1IHwAw&ved=0CEQQ_AUoAQ&biw=1024&bih=470

I complessi e gli immaginari li conosco abbastanza bene, e anche l'insieme di Mandelbrot, tuttavia quello è il semplice piano dei numeri reali, quindi ogni qualvolta la soluzione è complessa o immaginaria, semplicemente non esiste in quel tipo di grafico... tutti quei punti di quella curva sono descritti da coordinate reali. Dimenticavo: grazie, in ogni caso, per la collaborazione

Si è vero, è il sottonsieme dei reali nell'insieme degli immaginari, però in effetti è curioso la forma ripetura ciclicamente come se il valore non influisse, ma solo il modulo.

Provi ad utilizzare un programma migliore come Derive 6.

Per l'equazione x^y=x ho ottenuto quanto segue:

saluti

Mario

La ringrazio Mario, tuttavia in questo caso mi pare ci siano delle omissioni: tutte le coppie (-1;y) con y pari, negativo o positivo, non nullo, sono soluzioni, e non sono segnate. Allo stesso modo, tutto il semiasse delle ordinate positivo, esclusa l'origine, soddisfa l'equazione e non è segnato in rosso. Anche la retta y=1, che nel suo grafico si ferma all'incontro con l'asse delle ordinate, dovrebbe continuare per le x negative, poichè tutti i punti (x;1) sono soluzioni, per ogni x reale. In ogni caso, continuo a non capire come mai quel programma dia l'altro grafico, anche sbagliando, ma probabilmente è un problema tutto a livello informatico, che dipende appunto dalla precisione dell'algoritmo che utilizza.

Purtroppo anche derive 6 svalvola, ma un passo alla volta. Credo che questi grafici siano molto condizionati dagli algoritmi di cui il programma si serve, il programma non dice mai il falso, ma magari le istruzioni che gli vengono date possono dare risultati che noi non ci aspettiamo per delle convenzioni che abbiamo. Prendiamo ad esempio la funzione esponenziale y=a^x con a un parametro fissato. come tutti sanno se a=1 la funzione è una retta, a>1 una curva crescente, 0<a<1 una curva decrescente. Ma se a<0? di getto si dice che non è possibile, in realtà non è vero, potete provare a fare delle prove e otterrete con x=n con n un numero naturale una serie di risultati positivi e negativi, con n numeri frazionari alcuni risultati possibili altri no (perchè si hanno radici negative e quindi numeri complessi). Metto questo video per una maggiore comprensione: VIDEO Per convenzione decidiamo quindi che a deve essere >0 però se prendiamo a come variabile e usiamo un programma tutto dipende da come il programma si muove per graficare l'equazione: un metodo e dare a x e y dei valori e metterli direttamente sul grafico, poi unire i puntini con un altro algoritmo. Capita con programmi molto pesanti e funzioni un po' complicate di vedere sullo schermo prima una spezzata e poi la vera funzione "curva", questo perchè il programma prima si calcola dei punti fissi, unisce i puntini e poi stonda (detto molto alla bona). Quindi secondo me il sowftware usato da max usa dei puntini in posizioni giuste (come si vede per x=-1 y=9, 5, 3, ecc.) e poi unisce in maniera che ci pare casuale, questo succede perchè x è una variabile quindi il programma non ha quel controllo che la base non deve essere negativa. In derive6 probabilmente questo controllo c'è, ma non tutto è perfetto neanche lì: Se foste tornati alle superiori, o forse meglio al corso di analisi 1, a un compito in classe e dovreste fare lo studio di quella funzione come fareste? a parte smattare un bel po' io userei il metodo grafico. Forse ci sono metodi miglio, più veloci e efficaci ma sono un po' arrugginito di matematica e questo metodo è l'unico che mi ricordo si possa usare in questi casi. allora il metodo grafico ci dice che possiamo rompere l'equazione in due aggiungendo una variabile, l'incontro delle due funzioni ci darà il risultato. es se ho 2^x+2x=0 un po' difficoltosa da risolvere posso creare il sistema composto da y=2^x e y=-2x, queste due funzioni sono molto semplici da disegnare e la loro intersezione ci darà il risultato che è circa x=-0,4. Proviamo a fare la stessa cosa con la nostra funzione x^y=x ---> z=x^y e z=x in questo caso abbiamo funzioni 3D e il risultato non sarà un punto ma una funzione. Ho iniziato dicendo che anche derive 6 sbaglia ed ecco il perchè: facendo alcune prove l'intersezione coincide con il risultato 2D postato da Mario. Ma se nei parametri mettiamo i limiti a -10,10 per tutte le variabili, compare un grafico veramente assurdo per la stessa funzione z=x^y che ricorda molto quello trovato da max. Metto le immagini in allegato. In definitiva credo che questi programmi abbiano dei problemi quando si parla di espressioni che in generale vengono definite con dei limiti, ma che in realtà presentano dei valori reali anche oltre quei limiti. Queste sono solo ipotesi, spero di non aver detto troppe sciocchezze EDIT: nel "grafico strano" ho aumentato il numero di pannelli (da 20 a 50), quindi la definizione e è tornato ad essere come ci si potrebbe aspettare, credo sia un'ulteriore conferma del fatto detto prima: aumentando i "punti" il programma si rende conto di alcuni sbagli e corregge, anche se in realtà non sono sbagli dato che ad esempio a x^y=x appartiene, ad esempio, il punto (-1; 5) ma è solo un punto con un intorno vuoto e quindi graficamente senza senso.

Adesso la faccenda è molto più chiara per me, e ti ringrazio moltissimo per il contributo. Ho provato a plottare con questo programma la funzione y=(-2)^x e in effetti non mi dà il grafico, probabilmente perchè ha il blocco per la base negativa, o forse perchè considera vincolante la continuità e quando trova il salto netto si troverebbe a tracciare non più una curva, ma un insieme di punti distinti non segnabili. E' ora abbastanza evidente che il programma da me utilizzato all'inizio "delira" in questi casi, perchè fa lo stesso tipo di grafico(non identico, ovviamente) persino per x^y=0 e qui è assurdo aspettarsi soluzioni differenti da x=0 e y=qualsiasi numero positivo. Per casi come x^y=numero andrebbe sottolineato che si possono fare alcune trasformazioni, a volte con perdite di soluzioni, come: y=log_x(numero) [notare che così è indubbiamente una funzione] Provando un approccio più sistematico, per x^y=x, farei la seguente riflessione: per x negative, dove succede il pandemonio nel grafico, possiamo dire che 1) per ogni y negativa, x dev'essere diversa da 0 2) y, se è razionale, quindi nella forma a/b (ridotta ovviamente ai minimi termini) deve avere b dispari, cosicchè otterremmo la radice b-esima di x^a che è sempre possibile per b dispari. Se b fosse pari, allora x^a dovrebbe essere positivo, ma essendo x negativo a dovrebbe essere pari e a/b non sarebbe ridotta ai minimi termini. 3) Sempre per y razionale abbiamo quindi x^a/b=x e x=x^b/a (elevando entrambi i termini alla b/a, e quindi ammettendo anche a dispari per x negativo, secondo il ragionamento sopra descritto). Allora otteniamo x^a/b=x^b/a che non può ammettere soluzioni negative diverse da x=-1 per a e b diversi. Ne concludiamo che nel caso in cui anche a sia dispari, le uniche soluzioni con x negativa sono (-1 ; a/b) con a, b dispari. 4) Se a è pari, allora non è lecita la trasformazione precedente, poichè essendo la x negativa, quella trasformazione ci porterebbe alla radice pari di un numero negativo. In questo caso è sarà meno ovvio dimostrare la stessa cosa, ma alla fine si arriverà comunque a dire che la x può essere solo -1 5) Se i grafici precedenti hanno fondamento, l'unica possibilità è che per valori di x inferiori a -1, y sia irrazionale.